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제어 대상인 항공기의 수학적 모델. 비행기의 공간 기동 비행기의 일반 벡터 운동 방정식

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1 전자 저널 "MAI 회보". 문제 78 UDC 57.95: 공간 기동을 수행할 때 항공기의 궤적을 형성하는 경계값 문제 해결 Tang Thanh Lam Moscow Institute of Physics and Technology (State University) MIPT st. Gagarina Zhukovskiy 모스크바 지역 484 러시아 e-mal: Abstract 공간 기동을 수행할 때 항공기의 궤적을 계획하는 문제를 고려합니다. 지정된 경계 조건에 따라 궤적을 얻기 위해 역역학 문제의 개념과 매개변수화된 형식의 궤적 표현에 기반한 두 가지 접근 방식이 사용됩니다. 첫 번째 경우에는 경계 조건의 충족만 보장하는 가장 간단한 매개변수화가 고려됩니다. 두 번째 경우에 매개변수화는 직접 변형 방법의 일부 구현에 해당하는 일부 품질 기준의 추가 최적화를 제공합니다. 이 두 가지 접근 방식은 특정 예를 사용하여 비교됩니다. 핵심어: 공간 항공기 기동, 궤적 계획, 경계값 문제, 역역학, 직접변동법. 소개

2 공간의 주어진 끝점. 제어 품질의 기준이 추가로 설정되면 최적 제어 이론의 방법으로 문제를 해결할 수 있습니다. 그러나 어쨌든 비행 궤적의 형성은 본질적으로 경계 문제입니다. 지금까지 이러한 유형의 문제를 해결하기 위한 많은 방법이 개발되었습니다. 그 중 유한요소의 유한 차분을 대상으로 하는 방법으로는 Galerkin-Ritz 방법, Fredholm 적분방정식으로 환원하는 방법 등이 잘 알려져 있다. 최근 제안된 유망한 방향으로는 궤적의 매개변수화 및 역학의 역 문제 개념의 적용. 궤적의 매개변수화를 통해 유한한 수의 매개변수에 필요한 값을 찾는 문제를 줄일 수 있으며 역역학의 개념을 통해 필요한 궤적을 따라 이동하는 데 필요한 컨트롤을 쉽게 결정할 수 있습니다. 일부 기준에 따라 제어 품질을 최적화하는 것이 추가로 필요한 경우 이 접근 방식은 직접 변형 방법의 가능한 구현 중 하나에 해당합니다. 이 영역의 주요 이점은 계산 알고리즘의 비교 단순성과 비용 효율성입니다. 미래에 이것은 실시간으로 궤적을 생성하는 것을 가능하게 할 것이며 이는 항공 애플리케이션에 매력적입니다. 이 기사에서는 매개변수화된 형식으로 설정하는 것을 기반으로 궤적을 형성하는 두 가지 일반적인 방법에 대해 설명합니다. 첫 번째 방법에서는 적절한 계수 선택으로 인해 경계 조건이 조정되고[3 4 5], 두 번째 방법에서는 특별한 선택으로 인해

3가지 기본 기능. 두 번째 방법에서 매개변수화된 종속성의 자유 계수는 주어진 품질 기준 및 제어 제약 조건의 최적 조건에 따라 결정되므로 이 방법을 훨씬 더 유연하게 만듭니다. 그러나 궤적의 계산에는 다소 많은 계산이 필요합니다. 특정 예를 사용하여 기사는 매력적인 단순성에도 불구하고 첫 번째 방법이 항공기 궤적의 자동 생성에 거의 사용될 수 없음을 보여줍니다. 다음 방정식 시스템: V g na sn gn a cos γ cos Ψ gn a sn γ / V cos V cos cos V sn V cos sn / V () na cosα X mg ana snα Y mg a () 받음각 롤 각도 엔진 추력 X a 공기역학적 항력 Y a 공기역학적 양력 m 항공기 질량 중력 가속도 na - 종방향 과부하 na - 횡방향 3

4 과부하. 공기역학적 힘 X a 와 Y a 는 속도 V 와 비행 고도 X ac VY c V a 항공기의 축과 비행 속도 벡터에서의 대기 밀도에 따라 달라집니다. 모델()이 기술하는 궤적 운동에 대해 제어변수는 엔진 추력(), 받음각(), 롤각()이다. 그러나 궤적 형성의 문제에서는 변수 대신에 과부하 n a 및 n a를 고려할 수 있습니다. 이 접근 방식의 매력은 na n a 및 의 값이 추가 매개변수 및 변수 없이 종속성 () () 및 ()에 의해 직접 결정된다는 사실 때문입니다. 역 문제 방법론을 적용하려면 제어력이 주어진 궤적을 따라 고유하게 결정될 수 있어야 합니다. 시스템()을 사용하면 이를 쉽게 확인할 수 있습니다. 시간 () () 및 ()에 대한 항공기 좌표의 의존성을 주어라. ()에서 바로 다음과 같습니다. sn V cos sn cos (3) V. V 이러한 관계를 미분하여 V V cos Ψ Ψ V를 찾습니다. (4) V V cos 4

5 ()에서 직접 과부하 및 롤 각도 cos g g cos / V n a V sn g n a V g cos g cos를 결정하는 식을 쉽게 얻을 수도 있습니다. (5) 다른 한편, 이 시스템의 처음 세 방정식을 고려하여 시스템 ()의 마지막 세 방정식을 미분하면 다음 관계를 얻습니다. nagnng cos cos naag sn naag cos sn ng cos sn cos ng cos cos ag cos sn sn naag sn sn g sn cos ( ) 이 결과를 통해 다음과 같이 쓸 수 있습니다. nnaag sn cos sn g cos cos sn arcg gg cos sn cos cos sn g cos cos sn. sn (7) 공식 (7)은 공식 (3)과 함께 제어 변수 na na 및 γ를 좌표 함수의 형태로 정의합니다 () () () 및 시간에 대한 1차 및 2차 도함수. 엔진 추력과 받음각은 ()의 관계식에서 결정할 수 있습니다. 따라서 시스템 ()을 사용하여 역동학의 문제를 해결할 수 있습니다. 지금쯤이면 역역학 문제의 개념을 포함하는 궤적 형성을 위한 많은 방법이 이미 있다는 점에 유의해야 합니다. 이 기사에서는 가장 일반적인 두 가지 접근 방식인 단순 궤적 계획과 최적성의 원칙에 기반한 궤적 형성에 대해 설명합니다. 5

6. 단순 궤적 계획 주어진 초기 상태 = T 및 최종 상태 = T 항공기의 초기 및 최종 기동 시간뿐만 아니라 가정합니다. 초기 및 최종 제어 벡터 u = T u = T도 주어질 수 있으며, 이러한 모든 경계 조건을 만족하는 비행 궤적 및 제어를 구성하는 것이 필요합니다. 궤적 () () ()을 고려할 때 변환 공식에 따라 물리적 시간을 상대 시간 τ로 바꿉니다. (8) 여기서 Δ = - τ = at = 및 τ = at =가 되도록 합니다. 결과는 종속성 ((τ)) = (τ) ((τ)) = (τ) ((τ)) = (τ)이어야 합니다. 궤적 계획 절차는 기본 기능을 사용하여 매개변수화된 종속성의 형태로 기능(τ)(τ)(τ)의 사양을 가정합니다. 예를 들어, (τ) (τ) (τ) 형식 h w (9)의 다항식을 취할 수 있습니다. 여기서 h w는 상수 계수 a ... 선형 독립 특성을 갖는 기본 함수입니다. 계산을 단순화하기 위해 기본 함수의 구조가 충분하다고 가정합니다.

7 7 간단하지만, 함수(τ)(τ)(τ)는 연속적이고 최소 2배 미분 가능해야 합니다. 특히 형식의 거듭제곱 법칙 종속성은 사용하기에 편리합니다.예를 들어, 삼각 함수와 거듭제곱 법칙과 조화 함수의 조합이 있는 변형을 사용할 수 있습니다. cos sn τ에 대한 종속성(9)을 미분하면 도함수 w h를 얻습니다. w h 다항식(τ)(τ)(τ)과 그 도함수는 주어진 경계 조건을 충족해야 합니다. 이러한 관계를 기반으로 세 가지 방정식 시스템을 구성합니다.

8 8 w w w w w w h h h h h () ()에서 Δ na na γ na na γ s s s s s s = = ..의 양이 알려져 있습니다. 양의 값은 방정식 ()에 의해 결정되고 값은 관계 ()에 의해 결정됩니다. 시스템()은 3 = 8개의 미지수 계수(...) (h h ... h) 및 (w w ... w)에 대한 3 = 8 방정식입니다. 시스템()에서 계수를 계산하는 작업은 이 시스템이 3개의 독립적인 하위 시스템으로 나누어져 있다는 사실에 의해 촉진됩니다. 해결책을 찾는 것은 어렵지 않습니다. 예를 들어, 벡터 행렬 표기법 T T B를 사용하는 첫 번째 하위 시스템의 경우

9 A, A = B라고 쓸 수 있으므로 계수를 계산하기 위해 구하는 공식은 = A - B 형식을 취합니다. 사용된 기저 함수는 선형 독립성의 속성을 가지며, 행렬 A는 축퇴되지 않으므로 역행렬 A가 존재하고 에 대한 솔루션은 고유합니다. 나머지 계수 (h h ... h) 및 (w w ... w)에 대한 시스템 ()의 솔루션은 유사한 방식으로 결정됩니다. 3. 직접 변형 방법으로 궤적을 계획합니다. 이전 섹션의 공식 (9)에서 경계 조건의 충족은 임의의 주어진 기저 함수에 대한 계수의 특별한 선택에 의해 보장되었습니다. 그러나 경계값 문제는 임의로 주어진 계수에 대한 기저 함수의 특별한 선택에 의해 다른 방식으로 해결될 수 있습니다. 이 경우 계수 선택의 자유로 인해 궤적 계획 절차를 일부 품질 기준의 최적화와 결합할 수 있으며 위상 및 제어 변수에 대한 제약도 고려할 수 있습니다. 분명히 비행 역학 문제에 대한 이러한 접근 방식은 직접 9에 의한 제어 최적화의 맥락에서 Taranenko에 의해 처음 제안되었습니다.

10 변형 방법에 의해. Taranenko의 방법은 물리적 시간의 인수를 λ가 알려지지 않은 함수인 방정식에 따라 일부 일반화된 인수 τ로 대체하는 것을 포함합니다. 궤적은 d d (τ) = (τ) (τ) = (τ) (τ) = 3(τ) V(τ) = 4(τ) 관계식으로 주어진다. 여기서 함수(τ) = 4는 연속적이고 단일 값이어야 하며 인수 τ의 전체 값 간격에서 미분 가능해야 합니다. 함수(τ)는 알려진 선험적으로 주어진 기저 함수의 조합 형태로 구합니다. 여기서 j j j = 4 j = n 기저 함수 j는 알려지지 않은 n j 계수입니다. 함수와 j는 각각 불균일 경계 조건과 균일 경계 조건을 충족하도록 선택됩니다. 예를 들어 권장 사항 j에 따라. 제이

11 j j sn j 또는 j j. 이 기본 함수의 선택이 매개변수 j의 모든 값에 대해 (τ)에 대한 경계 조건의 만족을 보장한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 반면에 함수(τ)는 계수 j에 따라 달라지므로 이러한 계수를 선택하면 궤적에 영향을 미치고 주어진 성능 기준의 최적화와 제어에 대한 제약 조건의 충족을 보장할 수 있습니다. 경계 조건에 대해 걱정합니다. 시스템 ()을 새로운 인수 τ로 변환합니다. V g na sn / ga Ψ gna snγ / V cos V coscos / V sn / V cossn / / n cosγ cos / V () 방정식 ()의 섹션은 다음과 같은 운동학적 관계를 쉽게 얻을 수 있습니다. V sn V g V cos V 3/3 / cos. 제어 변수의 경우 다음 공식을 얻습니다.

12 cos arcg g cos / V n a V sn g n a V g cos. g cos 위의 공식은 모든 제어변수와 상태변수가 (τ)(τ)(τ)V(τ)와 그 미분으로 표현되는 것을 나타내지만, 섹션의 공식과 달리 scaling 함수가 추가로 존재한다. 자유 계수 j의 선택을 문제의 목표에 따라 달라지는 기능 J p의 최적화에 종속시킵니다(여기서 p는 계수 j의 벡터입니다). 따라서 지정된 경계 조건을 만족하는 최적 궤적의 형성은 비선형 계획법 문제로 축소됩니다. mn J(p) 또는 pc ma J(p) () pc 이 문제를 해결하는 방법에 대한 권장 사항이 제공됩니다. 4. 계산 예 위의 궤적 계획 옵션은 여러 일반적인 기동에 대한 수치 계산으로 검증되었습니다. 두 가지 예에 대한 계산 결과를 그림 4에 그래프로 나타내었다. 단순 궤적 계획(옵션) 그래프는 점선으로 표시하고, 성능 기준에 따라 최적화한 직접변동법(옵션)에 의한 궤적 계획 그래프를 나타내었다. 실선으로. 두 경우 모두 경계 조건은 동일합니다.

13 예(상승하면서 8만큼 회전) 경계 조건: - 기동 시작 = V = 35 m / s Θ = rad Ψ = rad = m = 5 m = m na = na = γ = rad. - 기동 종료 = 4.5 s V = 35 m / s Θ = rad Ψ = π rad = m = 8 m = -7 m na = na = γ = rad. 변형 계산은 제어 및 상태 변수에 대한 제약 조건을 고려합니다. 35 m / s V 8 m / s Θ -9 Ψ 7 -. 아니. -. 아니 γ. 삼

14 그림 .. 항공기의 궤적(예시). 4

15 그림 .. 제어 및 상태 변수의 동작(예시). 이 예에서 U턴은 상당히 큰 반경으로 발생합니다. 경로 곡률이 작기 때문에 제어 및 상태 변수의 변경이 느리고 부드럽습니다. 그래프는 두 옵션의 결과가 다르지만 너무 크지는 않음을 보여줍니다. 두 옵션 모두 실습에 적합한 솔루션을 제공한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 예(초기 고도로 돌아가면서 8로 회전) 경계 조건: - 기동 시작 = 5

16V = 35m / s Θ = rad Ψ = rad = m = 5m = m na = na = γ = rad. - 기동 종료 = .5 s V = 35 m / s Θ = rad Ψ = π rad = m = 5 m = -8 m na = na = γ = rad. 변형 계산은 제어 및 상태 변수에 대한 제한을 고려합니다. 35 m / s V 8 m / s Θ -9 Ψ 7 -. 아니. -. 아니 γ. 쌀. 3. 항공기의 궤적(예시).

17 그림. 4. 제어 및 상태 변수의 동작(예시). 이 예에서 변형은 반경이 매우 작은 회전 경로를 제공합니다. 궤적의 곡률이 크므로 제어 및 상태 변수의 변화가 첫 번째 예보다 빠르고 날카롭게 발생했습니다. 변이의 결과는 매우 다릅니다. 변형(그림 4)에 대한 종속성 V() 및 nа()의 거동을 분석하면 과부하 nа가 매우 낮은 속도 V 조건에서 ~ 수준으로 유지되며 이는 기존 항공기에서는 완전히 비현실적입니다. 최소 속도는 ~ 7 m / s (초 초)에 도달하며 실속 속도보다 훨씬 낮고 비행 안전을 위해 허용되지 않습니다. 이 점 부근에서 의존성 Ψ()의 그래프(그림 4) 7

도 18은 피봇 각도의 급격한 증가를 보여준다. 그러나 이것은 매우 자연 스럽습니다. 운동의 운동학에 따라 (세 번째 방정식 () 참조), 조건 n에서 상황 V는 획득으로 이어집니다. a 따라서 이 예에서 옵션은 사용할 수 없는 궤적을 제공했습니다. 결과는 충분히 예측 가능합니다. 이 옵션은 생성된 궤적의 실제 구현에 중요한 제한 사항을 고려하지 않습니다. 동시에, 제어 변수와 상태 변수 간의 일관성에 대해 얻은 변형 솔루션의 공식 확인은 솔루션이 허용되지 않는다는 정보를 제공하지 않습니다. 그림에서. (5)는 근사해(9)와 운동 방정식의 원래 시스템()(4차 Runge-Kutta 방법)의 수치 적분 결과에 대한 상태 변수의 거동 그래프를 보여줍니다. 공식(7)에 의해 계산된 생성된 궤적에 대한 제어. 두 유형의 그래프는 일치하며, 이는 고려 중인 시스템의 역학과 근사 솔루션의 일관성을 나타냅니다. 이 한 가지 예만으로는 이 궤적의 구현과 관련된 제한 사항을 고려하지 않고 항공기의 비행 경로를 단순하게 계획하는 것이 불충분함을 보여줍니다. 이 예에서 최적화(변형)로 궤적을 계획하는 고려된 방법은 이 방법이 필요한 제약을 고려하기 때문에 완전히 실현 가능한 궤적을 생성했습니다. 그러나 이 방법에 의한 계산량은 매우 큰 것으로 판명되었다. 수신 8

솔루션 19는 반복적인 비선형 계획법 절차를 사용해야 합니다. 쌀. 5. 일관성을 확인합니다(궤적 계획 문제의 솔루션에 대한 마커, 실선, 통합 결과). 결 론 본 논문에서는 궤적의 매개변수화와 역역학 문제의 개념을 사용하여 항공기의 공간적 기동의 궤적을 계획하는 두 가지 방법을 수치적 예를 사용하여 고려하고 분석하였다. 주어진 계산 예에서 가장 간단한 방법 9

단계 변수 및 제어에 대한 제약을 고려하지 않은 계획은 비현실적인 결과를 초래할 수 있습니다. 그리고 단순성으로 인한 매력에도 불구하고이 방법은 공중 사용에는 거의 허용되지 않습니다 (우리는 기존 비행기 계획의 항공기에 대해 이야기하고 있습니다). 기동 궤적 생성 문제에 대한 보다 안정적인 솔루션을 위해 최소한 가장 중요한 제약 조건을 고려할 수 있는 보다 복잡한 방법을 사용할 수 있습니다. 기사에서 고려한 Taranenko가 제안한 변형 문제의 직접 해결 방법을 사용하면 원칙적으로 이러한 제한을 고려하는 동시에 주어진 기준에 따라 기동을 최적화할 수 있습니다. 이 방법의 가장 큰 단점은 반복적인 절차를 사용하여 비선형 조건부 최적화를 수행해야 하므로 계산량이 많다는 것입니다. 궤적을 생성하는 매우 복잡한 방법일지라도 실현 불가능한 솔루션을 얻는 것에 대해 보장되지 않으므로 얻은 결과를 분석하고 검증해야 합니다. 항공 애플리케이션의 경우 이는 쉬운 일이 아닙니다. 서지 목록입니다. 타라넨코 V.T. 몸지 V.G. 비행 역학의 경계 값 문제에서 직접 변형 방법. - M .: 기계 공학 .. 비선형 역학 및 제어: 기사 모음 / Ed. S.V. 에멜랴노바 SK 코로빈. - M .: FIZMATLIT. - 4시

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강체로서의 비행기의 공간 운동 방정식

항공기의 공기역학에서는 다음과 같은 직사각형의 오른손 좌표계가 채택됩니다(그림 1.1). 축이 수직으로 향하는 지구의 좌표계는 축의 방향이 수평면에서 일정합니다. 항공기 비행 제어의 일반적인 문제의 경우 운동 역학에 대한 지구의 자전 영향은 무시할 수 있으며 시스템은 관성으로 간주될 수 있습니다.

중간(지구 중심) 좌표계

지구 시스템의 축과 평행한 축과 중심 O는 항공기의 질량 중심과 정렬됩니다.

연결된 좌표계. 이 좌표계의 축

일반적으로 항공기의 주요 관성 축과 일치합니다. 축은 관성의 길이 방향 주축과 일치하고 축은 대칭 평면에 있으며 축은 날개 평면에 가깝거나 일치합니다.

속도 좌표계. 이 시스템의 축은 항공기의 속도 벡터를 따라 배향되며 축은 항공기의 대칭 평면(양력 축)에 있습니다.

항공기의 세로축이 수평으로 이루는 각도

비행기라고 한다 피치 각... 수평면에서 세로축의 투영과 주어진 방향 사이의 각도를 요 각도, 강좌또는 트랙 각도... 가로축이 수평인 위치에 대해 세로축을 중심으로 한 항공기의 회전에 해당하는 각도를 뱅크 앵글.

항공기의 연결된 축에 대한 속도 벡터의 위치는 다음과 같은 특징이 있습니다. 공격 각도 NS그리고 슬라이딩 각도 V... 받음각은 항공기의 대칭면에 대한 속도 벡터의 투영과 세로축 사이의 각도이고, 슬립각은 속도 벡터와 대칭면이 이루는 각도입니다.

그림 1.1 좌표계

경계 좌표계에서 강체로서의 비행기의 움직임

오일러 방정식으로 설명됩니다.

관련 좌표계에서 지상 속도 벡터의 구성 요소는 어디에 있습니까? - 관련 좌표계에서 각속도 벡터의 구성요소; NS 1 , 예 1 , 지 1, 미디엄 x1, 미디엄 y1 , 미디엄 z1- 연결된 좌표계의 힘과 모멘트 NS NS , NS 와이 , NS 지- 주축에 대한 관성 모멘트; m - 질량, g - 중력 가속도. 방정식 (1.1) - (1.6)으로 표시되는 수학적 모델은 6자유도를 갖는 모든 강체에 해당하며 항공기에 적용되는 경우 추가 추가가 필요합니다.

이 모델의 구체화는 우선 항공기 공기 역학의 주제 인 공기 역학 및 기타 모션 매개 변수 (좌표), 제어 편차 및 방해 영향에 대한 힘과 모멘트의 의존성을 드러내는 것으로 구성됩니다. 정지 공기역학의 틀 내에서 항공기에 작용하는 힘과 모멘트는 비행 매개변수와 제어 편차의 함수로 표현됩니다. 힘의 순간 미디엄 y1요레이트, 슬립 각도의 함수로 표현됩니다. V.롤 속도, 방향타 편향, 에일러론 편향, 속도 헤드(- 공기 밀도, V- 지면 속도와 일치하는 바람이 없을 때의 속도), 마하 수 미디엄.자세히 살펴보면(큰 받음각, 0시에) 순간 미디엄 y1또한 공격 각도에 따라 NS:

미디엄 y1 = 미디엄 y1. (1.7)

힘과 모멘트는 함수가 아니라 비행 매개변수의 연산자입니다. 그러나 각 작업자의 관성은 표면에 대한 공기 입자의 이동 시간에 필적하여 힘이나 모멘트를 생성하며 작습니다. 따라서 대부분의 경우 공기역학의 비정상성은 첫 번째 도함수를 도입하여 대략적으로 고려할 수 있습니다. 그래서. 횡축에 대한 모멘트는 안정기의 흐름 기울기의 지연을 고려하여 받음각뿐만 아니라 받음각의 미분 함수로 간주됩니다.

미디엄 z1 = 미디엄 z1 ( 1.8)

엘리베이터 또는 안정기 편향.

일부 공기탄성 현상을 고려할 때 비정상 공기역학에 대한 자세한 설명이 필요합니다.

고정 공기 역학의 틀에서 더 많은 고려가 수행됩니다.

편차가 없는 경우에도 방정식 (1.1) - (1.6) 시스템. 컨트롤은 닫힌 시스템이 아닙니다.

지구에 대한 관련 좌표계의 방향 코사인은 표 1.1에 주어진 공식에 따라 각도로 표현됩니다.

표 1.1

표 1.1의 방향 코사인을 통한 지구 좌표계의 속도 성분은 수량과 관련이 있습니다. V NS , V 와이 , V 지 :

한편, Table 1.2의 자료에 따르면 바람이 없는 상태에서 결합축의 지면속도 성분은 식

피치, 롤 및 요 각의 미분은 다음 식으로 설명됩니다.

비행 매개변수에 대한 힘과 모멘트의 공개된 의존성을 가진 방정식 (1.1) - (1.6), (1.09), (1.10), (1.11) 시스템은 다음과 같은 경우 제어 대상인 항공기의 완전히 닫힌 방정식 시스템이 됩니다. 공기 밀도와 음속의 의존성은 알려져 있습니다. NS(또는 온도) 고도에서 H =, 즉 대기의 모델이 알려져 있습니다. 물체의 방정식 시스템의 폐쇄성은 주어진 제어 편차에서의 모션이 이 방정식 시스템에 의해 완전히 결정됨을 의미합니다.

위의 방정식과 대기 모델로 표현되는 강체로서의 LA의 공간 운동에 대한 수학적 모델은 비대칭이며 다소 복잡합니다. 그러나 이 모델은 최소한 더 단순한 모델을 향한 단계로서 전통적입니다. 이 모델이 널리 사용되는 이유는 롤, 요, 피치, 슬립 및 공격 각도와 같은 표준 각도 좌표를 기반으로 하기 때문입니다.

방향 코사인을 각도 위치의 좌표로 사용하고 관련 축 및 기타 매개변수에 대한 공기 속도 투영의 함수 형태로 엔진의 공기역학적 힘과 모멘트 및 추력을 표현하면 다음 방정식 시스템 항공기의 공간적 움직임은 더 대칭적인 형태를 취합니다.

다음은 엔진의 추력 제어를 특성화하는 값입니다.

추력 제어의 관성(무제한 엔진 스로틀 응답)을 무시하면 값이 엔진 제어 스틱의 편향과 일치합니다.

항공기가 재료 대칭 평면을 가지고 있다는 사실은 공간 운동을 세로 방향과 가로 방향으로 나눌 수 있습니다. 세로 운동은 방향타와 에일러론의 중립 위치에서 롤과 슬립이 없는 수직 평면에서 항공기의 움직임을 나타냅니다. 이 경우 두 번의 병진 운동과 한 번의 회전 운동이 발생합니다. 병진 운동은 속도 벡터를 따라 수행되고 법선을 따라 Z 축을 중심으로 회전합니다. 세로 운동은 공격 각도 α, 궤적 θ의 경사각, 피치 각도, 비행 속도, 비행 고도, 승강기의 위치, 추력 DU의 수직면에서의 크기와 방향.

연립방정식 세로 운동항공기.

폐쇄 시스템항공기의 종방향 운동을 설명하는 것은 다음에서 추출할 수 있습니다. 완전한 시스템롤 및 요 제어의 편향 각도뿐만 아니라 측면 모션 매개변수가 0인 경우 방정식.

관계 α = ν - θ는 변환 후 첫 번째 기하학적 방정식에서 파생됩니다.

시스템 6.1의 마지막 방정식은 다른 것에 영향을 미치지 않으며 별도로 풀 수 있습니다. 6.1은 비선형 시스템이므로 변수 및 삼각 함수의 곱, 공기 역학적 힘에 대한 표현을 포함합니다.

항공기의 종방향 운동에 대한 단순화된 선형 모델을 얻으려면 특정 가정을 도입하고 선형화 절차를 수행해야 합니다. 추가 가정을 입증하기 위해 엘리베이터의 계단형 편향과 함께 항공기의 종방향 운동의 역학을 고려해야 합니다.

엘리베이터 계단식 편향에 대한 비행기 반응. 세로 운동을 장기와 단기로 나눕니다.

단계별 편차 δ in에는 ω z 속도로 Z 축을 중심으로 회전하는 모멘트 M z(δ in)가 있습니다. 이것은 피치와 공격 각도를 변경합니다. 받음각이 증가하면 양력이 증가하고 해당 모멘트 M z(δ in)에 반대되는 종방향 정적 안정성 모멘트 M z(Δα)가 발생합니다. 회전 종료 후 일정 각도에서 이를 보상합니다.

모멘트 Mz(Δα)와 Mz(δc)의 균형을 맞춘 후 받음각의 변화가 멈췄지만, 평면에는 특정 관성 속성이 있습니다. 즉, OZ 축에 상대적인 관성 모멘트 I z가 있는 경우 받음각 설정이 진동합니다.

ОZ 축 주위의 항공기의 각진동은 공기역학적 감쇠 М z (ω z)의 고유 모멘트를 사용하여 감쇠됩니다. 양력의 증가는 속도 벡터의 방향을 변경하기 시작합니다. 궤적 θ의 경사각도 변화하며, 이는 차례로 받음각에 영향을 미치며, 모멘트 하중의 균형에서 진행하여 궤적의 경사각 변화에 동기하여 피치각이 계속 변화합니다. 이 경우 받음각은 일정합니다. 작은 간격의 각 운동은 고주파로 발생합니다. 기간이 짧아 단기라고 합니다.

단기적인 변동이 사라진 후에 비행 속도의 변화가 눈에 띄게 나타납니다. 주로 Gsinθ 성분 때문입니다. 속도 ΔV의 변화는 양력의 증가에 영향을 미치고 결과적으로 궤적의 경사각에 영향을 줍니다. 후자는 비행 속도를 변경합니다. 이 경우 크기와 방향에서 속도 벡터의 페이딩 진동이 발생합니다.

이러한 움직임은 저주파가 특징이며 천천히 페이드 아웃되므로 장기라고합니다.

종방향 운동의 역학을 고려할 때 엘리베이터의 처짐에 의해 생성되는 추가 양력은 고려하지 않았습니다. 이 노력은 전체 양력을 줄이는 것을 목표로 하므로 대형 항공기의 경우 드로우다운 현상이 있습니다. 즉, 피치 각도가 동시에 증가하면서 궤적 경사각의 질적 편차가 발생합니다. 이것은 증분 리프트가 엘리베이터를 편향시켜 리프트 구성 요소를 보상할 때까지 발생합니다.

실제로 장기간 변동은 발생하지 않습니다. 조종사 또는 자동 제어 장치에 의해 즉시 소화됩니다.

종방향 운동 수학적 모델의 전달 함수 및 구조 다이어그램.

전달 함수는 초기 조건이 0일 때 입력의 이미지에 따라 출력 크기의 이미지라고 합니다.

제어 대상인 항공기의 전달 함수의 특징은 입력 대비 출력량의 비율을 음수 부호로 취한다는 것입니다. 이는 공기 역학에서 항공기 동작 매개변수의 음수 증가를 생성하는 편차를 컨트롤의 양의 편향으로 간주하는 것이 일반적이기 때문입니다.

연산자 양식에서 레코드는 다음과 같습니다.

항공기의 단기 이동을 설명하는 시스템 6.10은 다음 솔루션에 해당합니다.

(6.11)

(6.12)

따라서 우리는 받음각과 엘리베이터의 처짐으로부터 피치의 각속도와 관련된 전달 함수를 쓸 수 있습니다.

(6.13)

전달 함수가 표준 형식을 갖기 위해 다음 표기법을 도입합니다.

, , , , ,

이러한 비율이 주어지면 6.13을 다시 작성합니다.

(6.14)

따라서 엘리베이터의 편차에 따라 궤적의 경사각과 피치각에 대한 전달 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

(6.17)

항공기의 종방향 운동을 특성화하는 가장 중요한 매개변수 중 하나는 정상 과부하입니다. 과부하는 일반(OY 축을 따라), 세로(OX 축을 따라) 및 측면(OZ 축을 따라)일 수 있습니다. 특정 방향으로 항공기에 작용하는 힘의 합을 중력으로 나눈 값으로 계산됩니다. 축의 투영을 통해 크기와 g에 대한 관계를 계산할 수 있습니다.

- 정상 과부하,

시스템 6.3의 첫 번째 힘 방정식에서 다음을 얻습니다.

오버로드 표현식을 사용하여 다음을 다시 작성합니다.

수평 비행 조건의 경우(:

전달 함수에 해당하는 블록 다이어그램을 작성해 보겠습니다.

-δ in M ω z ν α -

θ θ

횡력 Z a(δ n)는 롤 모멘트 M x(δ n)를 생성합니다. 모멘트 M x (δ n) 및 M x (β)의 비율은 방향타의 편향에 대한 항공기의 전진 및 후진 반응을 특성화합니다. M x(δ n)가 M x(β)보다 모듈러스가 더 큰 경우 항공기는 선회 반대 방향으로 기울어집니다.

위의 사항을 고려하여 방향타가 편향되었을 때 항공기의 횡방향 움직임을 해석하기 위한 구조도를 구성할 수 있다.

-δ n M y ω y ψ ψ

β β

F z Ψ 1

ω y ω x

소위 플랫 턴 모드에서 롤 모멘트는 파일럿 또는 해당 제어 시스템에 의해 보상됩니다. 작은 측면 움직임으로 항공기가 구르고 이와 함께 양력의 기울기가 발생하여 측면 투영 Y a sinγ가 발생하여 큰 측면 움직임이 발생하기 시작합니다. 항공기가 미끄러지기 시작합니다 기울어 진 날개, 해당 공기 역학적 힘과 모멘트가 증가하여 소위 "나선형 모멘트"가 역할을하기 시작합니다 : М у (ω х) 및 М у (ω z). 항공기가 이미 기울어져 있을 때 또는 에일러론이 편향될 때 항공기의 역학의 예에서 큰 측면 이동을 고려하는 것이 좋습니다.

에일러론 편향에 대한 항공기 반응.

에일러론이 편향되면 모멘트 M x(δ e)가 발생합니다. 기체가 바운드 축 ОХ를 중심으로 회전하기 시작하고 롤 각도 γ가 나타납니다. 댐핑 모멘트 M x(ω x)는 항공기의 회전에 대응합니다. 롤 각도의 변화로 인해 항공기가 기울어지면 횡력 Zg(Ya)가 발생하는데, 이는 중량력과 양력 Y a의 결과입니다. 이 힘은 속도 벡터를 "펼칩니다". 반면 트랙 각도 Ψ 1이 변경되기 시작하여 슬립 각도 β와 해당하는 힘 Z a(β), 트랙 정적 안정성 М의 모멘트가 발생합니다. у (β), 각속도 ω y로 종축 항공기를 펼치기 시작합니다. 이 움직임의 결과로 요 각도 ψ가 변경되기 시작합니다. 횡력 Z a (β)는 힘 Z g (Ya)에 대해 반대 방향으로 향하므로 어느 정도 트랙 각도 Ψ 1의 변화율을 감소시킵니다.

힘 Z a(β)는 측면 정적 안정성 모멘트의 원인이기도 합니다. M x (β)는 평면을 롤에서 꺼내려고 시도하고 각속도 ω y 및 해당 나선형 공기 역학적 모멘트 M x (ω y)는 롤 각도를 증가시키려고 합니다. M x(ω y)가 M x(β)보다 크면 에일러론이 중립 위치로 돌아온 후에도 롤 각도가 계속 증가하여 회전하는 이른바 "나선 불안정성"이 발생합니다. 각속도가 증가하는 항공기.

이러한 선회를 조정 선회라고 하며 롤 각도는 조종사 또는 자동 제어 시스템의 도움으로 설정됩니다. 이 경우 선회 과정에서 방해되는 롤 모멘트 M x β 및 M x ωу가 보상되고 방향타는 슬립, 즉 β, Z a(β), М у(β) = 0을 보상하며, 반면 항공기의 종축을 회전시키는 모멘트 М у(β)는 방향타로부터의 모멘트 M y(δ n)와 트랙의 변화를 방지하는 횡력 Z a(β)로 대체된다. 각도는 힘 Z a(δ n)로 대체됩니다. 조정 선회의 경우 속도(기동성)가 증가하는 반면 항공기의 세로축은 속도 벡터와 일치하고 각도 Ψ 1의 변화와 동기적으로 선회합니다.

UDC 629.7333.015
분리된 흐름의 비정상 효과를 고려한 기동 가능한 항공기의 공간 운동에 대한 수학적 모델
공격 각도.
M.A. 자카로프.
큰 받음각에서 분리된 흐름의 불안정한 영향을 고려한 세로 방향 운동의 공기역학적 계수의 세련된 모델을 기반으로 하여 기동 가능한 항공기의 공간 운동에 대한 수학적 모델은 다음 시스템의 감소로 구성됩니다. 비선형 미분 방정식을 정준 형식으로 변환합니다. 디지털 컴퓨터의 특정 시스템 솔루션을 프로그램에 도입하기 위한 초기 데이터가 준비되었습니다. 공기역학 계수에 대한 초기 데이터는 알려진 것(각도의 경우 0 ... 900 및 각도의 경우 -400 ... 400 범위 포함)에서 가져오고 주기 법칙에 따라 각 -7200 ... 7200에 대해 대략적으로 예측됩니다. 구성된 모델은 항공기 제어의 다양한 위치에 대한 솔루션으로 설명됩니다.

1 문제의 진술.
컴퓨터 기술 분야의 발전과 관련하여 항공기의 공간 운동에 대한 비선형 미분 방정식 시스템의 솔루션을 더 빠르고 정확하게 찾는 것이 가능해졌습니다. 동시에 이 운동을 완전히 설명하는 수학적 장치는 아직 개발되지 않았습니다. 기동 가능한 항공기의 공간적 움직임에 대한 수학적 모델의 고려에 전념하는 알려진 연구가 있다(예를 들어). 동시에 공기 역학적 계수의 수학적 모델과 운동 모델 (미분 방정식 시스템 형태)이 별도로 제안됩니다. 그러나 모형에 비정상 성분(특히 날개의 분리유동 구조에 해당하는 성분)의 공력계수가 존재하기 때문에 실용화를 위한 일반(조인트) 모형의 구축은 어렵다. 공기역학 계수를 일반 방정식 시스템에 대입하면 후자는 디지털 컴퓨터에서 풀 수 없습니다. 결과 시스템의 오른쪽에는 받음각과 미끄러짐(,)의 도함수를 포함하는 용어가 있습니다. 또 다른 어려움은 각도의 변화 범위에 대한 공기 역학적 계수에 대한 정보가 언론에 거의 없다는 사실에 있습니다. 본 논문은 이러한 어려움을 극복하고자 한다.
이전에는 큰 받음각에서 분리된 흐름의 불안정한 효과를 고려한 공기역학 계수의 세련된 모델을 기반으로 기동 가능한 항공기의 세로 운동에 대한 수학적 모델이 구축되었습니다. 공기역학 계수의 세련된 모델을 도입하려는 노력의 논리적 완성은 계수의 지정된 모델을 포함하여 기동 가능한 항공기의 공간 운동 모델을 구성하는 것이어야 합니다.
컨트롤의 위치를 변경할 때 솔루션으로 구성된 모델을 설명하는 것도 필요합니다.

2 가정, 초기 방정식 및 수학적 모델의 구성.
우리는 단단하고 기동성이 있는 항공기가 바람이 없는 상태에서 회전하지 않는 평평한 지구에 대해 움직인다고 가정합니다. 오른쪽 및 왼쪽 모터의 추력 축은 관련 좌표계의 X축과 평행합니다. 이 경우 그러한 항공기의 공간적 움직임은 다음과 같은 역학 및 운동 방정식 시스템으로 표현될 수 있습니다.
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어디:
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; (11)
; (12)
- 항공기 질량 중심(CM)의 선형 속도 ,, - 항공기와 관련된 X, Y, Z 축에 대한 회전 각속도, - 날개 면적; - 날개 길이; - 평균 공기역학적 날개 코드; ,, - 축 OX, OY, OZ에 대한 축 관성 모멘트; - 공격 각도; - 슬라이딩 각도; - 롤 각도; - 피치 각; - 요 각도; - 운동 모멘트 ...