집 이주 운동 방정식에 따라 항공기의 궤적 계산. 항공기의 운동 방정식의 구조

운동 방정식에 따라 항공기의 궤적 계산. 항공기의 운동 방정식의 구조

페이지 1

강체로서의 항공기의 움직임은 질량 중심의 움직임과 질량 중심 주위의 움직임의 두 가지 움직임으로 구성됩니다. 이러한 각 움직임에서 평면은 3개의 자유도를 가지므로 일반적으로 평면의 움직임은 6개의 자유도를 특징으로 합니다. 임의의 순간에 움직임을 지정하려면 6개의 좌표를 시간의 함수로 지정해야 합니다.

항공기의 위치를 결정하기 위해 다음과 같은 직교 좌표계를 사용할 것입니다(그림 2.1).

고정 시스템 Ox0y0z0, 원점은 항공기의 질량 중심과 일치하고 Oy0 축은 수직으로 향하고 Ox0 및 Oz0 축은 수평이고 지구에 대해 고정된 방향을 갖습니다.

연결된 시스템 Ox1y1z1 항공기 질량 중심의 원점, 그 축은 항공기의 주 관성 축을 따라 지향됩니다. 축 Ox1 - 세로 축을 따라 축 Oy1 - 대칭 평면에서 축 Oz1 대칭 평면에 수직입니다.

항공기의 질량 중심에 원점이 있는 고속 시스템 Oxyz, Ox 축은 속도 벡터 V를 따라 향하고, Oy 축은 대칭 평면에 있고, Oz 축은 대칭 평면에 수직입니다. ;

고정 시스템 Ox0y0z0에 대한 결합 시스템 Ox1y1z1의 위치는 오일러 각도로 특성화됩니다. φ는 롤 각도, ψ는 요 각도, J는 피치 각도입니다.

경계 시스템 Ox1y1z1에 대한 속도 벡터 V의 위치는 받음각 α와 슬립 각도 b로 특징지어집니다.

종종 관성 좌표계 대신 지구와 관련된 시스템이 선택됩니다. 이 좌표계에서 항공기 질량 중심의 위치는 비행 고도 H, 주어진 비행 경로 Z로부터의 측면 편차, 이동 거리 L로 특성화될 수 있습니다.

쌀. 2.1 좌표계

질량 중심의 속도 벡터가 대칭 평면과 일치하는 항공기의 평면 운동을 고려합시다. 고속 좌표계의 항공기는 그림 2.2와 같다.

쌀. 2.2 고속 좌표계의 비행기

축 OXa 및 OYa에 대한 투영에서 항공기 질량 중심의 길이 방향 운동 방정식은 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

(2.1)

(2.2)

여기서 m은 질량입니다.

V는 항공기의 속도입니다.

P는 엔진의 추진력입니다.

- 공격 각도;

q는 수평선에 대한 속도 벡터의 경사각입니다.

Xa는 정면 저항의 힘입니다.

Ya는 공기 역학적 리프트입니다.

G는 무게의 강도입니다.

질량 중심을 통과하는 가로축에 대해 작용하는 공기역학적 힘의 총 모멘트와 같은 축에 대한 관성 모멘트를 각각 Mz와 Jz로 표시합니다. 항공기의 가로축에 대한 모멘트 방정식은 다음과 같습니다.

(2.3)

Мшв와 Jв가 힌지 모멘트와 회전축에 대한 엘리베이터의 관성 모멘트인 경우 Мв는 제어 시스템에 의해 생성된 제어 모멘트이며 엘리베이터의 운동 방정식은 다음과 같습니다.

(2.4)

4개의 방정식 (2.1) - (2.4)에서 미지수는 5개의 양 J, q, a, V 및 dв입니다.

누락된 다섯 번째 방정식으로 J, q 및 a 양을 연결하는 운동 방정식을 사용합니다(그림 2.2 참조).

미분 방정식((2.1) - (2.7))의 비선형 시스템과 그 솔루션의 분석은 특정 어려움을 나타냅니다. 따라서 연구를 향한 첫 번째 단계는 변수 간의 관계를 선형화하여 제어 대상으로 항공기의 선형 수학적 모델을 얻은 다음 동적 속성을 분석하는 것입니다.

선형화된 운동 방정식을 얻으려면 양과 V 및 조절 요인에 대한 힘과 모멘트의 종속성을 설정해야 합니다.

엔진 추력 P는 내부 매개변수와 대기 중 비행 속도 V, 압력 p n 및 온도 T n을 특징으로 하는 외부 조건에 따라 달라집니다.

공기 역학적 힘과 모멘트는 일반적으로 다음 형식으로 표시됩니다.

어디서 c x 및 c y - 항력 및 양력 계수;

m z - 투구 모멘트 계수;

b A - 날개 현의 길이;

S는 날개의 면적입니다.

q는 다음 공식으로 계산된 속도 헤드입니다.

계수 c x 및 c y는 및 V의 함수이고 계수 m z는 및의 함수입니다.

관계식 (2.8) - (2.9)를 고려하여 방정식 (2.1) - (2.7)을 선형화하기 위해 교란되지 않은 운동에 대한 선형 편차의 형태로 비선형 종속성을 표현하는 잘 알려진 방법을 사용할 것입니다(가정 이러한 편차는 작습니다). 방해받지 않는 모션으로 일정한 속도로 수평 비행을 할 수 있습니다. 이 경우, 우리는 항공기의 공기역학적 특성에 대한 유동의 비정상성의 영향을 무시할 것이다. 항공기의 교란되지 않은 움직임이 시간에 관계없이 매개변수 V 0, H 0, 0, 0, 0에 의해 특성화된다고 가정합시다. 항공기에 작용하는 교란으로 인해 시간이 지나면 다음과 같이 됩니다.

여기서 V, H는 작은 증분입니다.

결과적으로, 항공기의 교란된 운동은 교란되지 않은 운동과 작은 편차를 특징으로 하는 운동으로 구성됩니다. 불안정한 운동에 대한 이러한 해석은 V 및 H의 증분이 작은 상태로 유지되는 한 합법적입니다. 이는 안정적인 시스템의 경우입니다. 제어 시스템의 주요 목적 중 하나는 비행 모드의 안정성을 보장하는 것이므로 선형화 된 방정식을 사용하는 적법성은 확보되었다고 볼 수 있습니다.

Taylor 급수에서 힘 P, X, Y 및 모멘트 M z를 작은 증분으로 확장하고 방정식 (2.1) - (2.5) 대신 증분의 선형 항으로 제한하면 다음을 얻습니다.

여기서 위 첨자 항은 교란되지 않은 운동 부근의 해당 변수에 대한 편도함수를 나타냅니다.

교란되지 않은 비행이 수평이라고 가정하면 0 = 0입니다. 방정식 (2.10)에 포함된 편도함수의 경우 (2.8)을 고려하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이 식에서 M은 마하 수입니다.

추가 변환을 위해 다음 관계를 사용합니다.

또는, 그것을 고려하여

여기서 음속은 다음과 같습니다.

또한 고도 H와 대기의 매개변수와 T H 사이의 관계를 사용할 것입니다.

온도 구배,

R은 기체 상수입니다.

식 (2.13)을 사용하여 다음을 찾습니다.

따라서

표기법을 줄이기 위해 무차원 수량을 소개합니다.

어디는 항공기의 공기 역학적 시간 상수이며 증분 대신에 우리는 기록하고 마지막 값에 동일한 증분의 의미를 부여합니다.

관계식 (2.11) - (2.16)을 사용하여 방정식 (2.10)을 다음 형식으로 가져옵니다.

r은 항공기의 회전 반경입니다.

미분 방정식 시스템(2.17)은 항공기의 세로 운동에 대한 선형 수학적 모델입니다.

세로 평면의 항공기 역학은 단기 및 장기의 두 가지 구성 요소로 특징 지어집니다. 단시간 운동에서 매우 급격한 변화는 매개변수를 거치며, 이는 질량 중심에 대한 항공기의 운동을 특성화합니다. 장기간 동작으로 매개 변수와 V가 변경되어 항공기의 질량 중심 위치를 특성화합니다. 따라서 방정식 (2.17)에서 각도 좌표와 비행 속도가 변경되는 동안 실제로 변경되지 않는다고 가정하면 = 0을 넣을 수 있습니다. 즉, 항공기의 세로축은 질량 중심의 속도 벡터에 대해 진동할 수 있습니다.

우리가 한 말을 고려하고 종방향 힘의 평형이 교란 중에 위반되지 않는다고 가정하면 시스템 (2.17) 대신 수평 비행의 경우를 얻습니다.

궤도 속도보다 현저히 낮은 속도로 비행하는 항공기의 역학 해석의 경우 일반적인 항공기 비행의 경우, 특히 회전 및 구형도와 비교하여 운동 방정식을 단순화 할 수 있습니다. 지구는 무시할 수 있습니다. 또한, 우리는 여러 가지 단순화 가정을 할 것입니다.

속도 헤드의 현재 값에 대해 준정적으로만.

항공기의 안정성과 조종성을 분석할 때 다음과 같은 직사각형의 오른손 좌표계를 사용합니다.

일반적인 지상 좌표계는 OXgYgZg입니다. 이 좌표계는 지구에 대해 일정한 방향을 갖습니다. 좌표의 원점은 항공기의 질량 중심(CM)과 일치합니다. 0Xg 및 0Zg 축은 수평면에 있습니다. 해결하려는 문제의 목표에 따라 방향을 임의로 취할 수 있습니다. 항법 문제를 해결할 때 0Xg 축은 종종 자오선에 대한 접선과 평행한 북쪽을 향하고 0Zg 축은 동쪽을 향합니다. 항공기의 안정성과 조종성을 분석하기 위해서는 운동 연구 초기에 수평면에 속도 벡터를 투영하는 방향과 일치하는 0Xg 축의 방향을 취하는 것이 편리하다. 모든 경우에 0Yg 축은 로컬 수직을 따라 위쪽을 향하고 0Zg 축은 수평면에 놓여 OXg 및 0Yg 축과 함께 오른쪽 좌표계를 형성합니다(그림 1.1). XgOYg 평면을 로컬 수직 평면이라고 합니다.

연관된 좌표계는 OXYZ입니다. 원점은 항공기의 질량 중심에 있습니다. OX 축은 대칭 평면에 있으며 날개 코드 라인을 따라(또는 항공기에 대해 고정된 다른 방향과 평행) 항공기 기수 쪽으로 향합니다. 0Y 축은 항공기의 대칭 평면에 있으며 위쪽을 향하고(수평 비행 중) 0Z 축은 오른쪽의 시스템을 보완합니다.

받음각 a는 항공기의 세로축과 OXY 평면에 대한 속도 투영 사이의 각도입니다. 0Y 축에 대한 항공기 속도의 투영이 음수이면 각도는 양수입니다.

슬립 각도 p는 항공기의 속도와 관련 좌표계의 OXY 평면 사이의 각도입니다. 횡축에 대한 속도의 투영이 양수이면 각도는 양수입니다.

일반 지상 좌표계 OXeYgZg에 대한 관련 좌표계 OXYZ의 위치는 각도라고 하는 φ, #, y의 세 가지 각도에 의해 완전히 결정될 수 있습니다. 오일러. 연결된 시스템을 순차적으로 회전

각각의 오일러 각에 대한 좌표를 사용하면 법선 좌표계의 축을 기준으로 연관된 시스템의 모든 각도 위치에 올 수 있습니다.

항공기의 역학을 연구할 때 다음과 같은 오일러 각 개념이 사용됩니다.

요 각도 r])은 일부 초기 방향(예: 법선 좌표계의 0Xg 축)과 관련 항공기 축이 수평면에 투영되는 각도입니다. OX 축이 OYg 축을 중심으로 시계 방향으로 회전하여 수평면에서 세로 축의 투영과 정렬되면 각도가 양수입니다.

피치 각도 # - 항공기 OX의 세로 축 #과 로컬 수평면 OXgZg 사이의 각도 세로 축이 수평선 위에 있으면 각도는 양수입니다.

롤 각도 y - OX y 축을 통과하는 로컬 수직 평면과 항공기의 관련 0Y 축 사이의 각도. 항공기 축 ОК가 ОХ 축을 중심으로 시계 방향으로 회전하여 로컬 수직 평면과 일치하는 경우 각도는 양수입니다. 오일러 각은 법선 축에 대한 관련 축의 연속적인 회전에 의해 얻을 수 있습니다. 법선 좌표계와 경계 좌표계가 원점에 정렬되어 있다고 가정합니다. 연결된 축 시스템의 첫 번째 회전은 요 각도 r]만큼 O 축에 대해 수행됩니다. (ф는 축 OYgX와 일치합니다. 그림 1.2)); 두 번째 회전은 각도 Ф만큼 0ZX 축에 상대적입니다('&는 OZJ 축과 일치하고 마지막으로 세 번째 회전은 각도 у만큼 ОХ 축에 대해 만들 것입니다(у는 ОХ 축과 일치). 벡터 ф, Ф, у, 구성 요소

관련 축에서 수직 좌표계에 대한 항공기 움직임의 각속도 벡터의 관련 축의 회전 각속도와 오일러 각 사이의 관계 방정식을 얻습니다.

co * = Y + 죄 * &;

o) ^ = i) COS '& 아늑한 + ftsiny; (1.1)

co2 = φ cos y - φ cos Φ sin y.

항공기의 질량중심에 대한 운동방정식을 유도할 때 운동량을 변화시키는 벡터방정식을 고려할 필요가 있다.

- ^ - + o> xV) = # + G, (1.2)

여기서 y는 항공기와 관련된 축의 회전 속도 벡터입니다.

R은 외부 힘의 주요 벡터이며 일반적인 경우 공기 역학

ical 힘과 견인력; G는 중력의 벡터입니다.

방정식 (1.2)에서 관련 축에 대한 투영에서 항공기 CM의 운동 방정식 시스템을 얻습니다.

t(ГЗ? ~ + ° hVx ~ ° ixVz) = Ry + G !!'(1 -3)

m iy'dt "b Y - = Rz + Gz>

여기서 Vx, Vy, Vz는 속도 V의 투영입니다. Rx, Rz - 투영

결과적인 힘(공기 역학적 힘 및 추력); Gxi Gyy Gz - 관련 축에 대한 중력의 투영입니다.

관련 축에 대한 중력의 투영은 방향 코사인(표 1.1)을 사용하여 결정되며 형식은 다음과 같습니다.

Gy = - G cos ft cos y; (1.4)

GZ = G cos d sin y.

지구에 대해 고정된 대기에서 비행할 때 비행 속도의 투영은 받음각 및 슬립 각도 및 속도(V)의 크기와 관련됩니다.

Vx = V cos a cos p;

Vу = - V sin a cos p;

경계

결과적인 힘 Rx, Rin Rz의 투영에 대한 표현식은 다음과 같습니다.

Rx = - cxqS - f Р cos([>;

Rty = cyqS p sin (1.6)

여기서 cx, cy, c는 관련 좌표계의 축에 대한 공기 역학적 힘의 투영 계수입니다. P - 엔진 gyaga (보통 P = / (Y, #)); Фн은 엔진 재밍 각도(Фя> 0, 항공기의 0Y 축에 대한 추력 벡터의 투영이 양수일 때)입니다. 다음 내용에서 우리는 모든 곳에서 = 0을 취할 것입니다. 속도 헤드 q에 대한 식에 포함된 밀도 값 p(H)를 결정하려면 높이에 대한 방정식을 통합해야 합니다.

Vx sin ft + Vy cos ft cos y - Vz cos ft sin y. (1.7)

p(H) 의존성은 표준 대기 표 또는 대략적인 공식에 따라 찾을 수 있습니다.

비행 고도 I c 10,000 m K x 10 ~ 4. 결합된 축에서 항공기 운동의 닫힌 방정식 시스템을 얻으려면 식 (13)에 운동학을 추가해야 합니다.

항공기의 방위각을 결정할 수 있게 하는 관계식 y, ft, z] 1 및 방정식 (1.1)에서 얻을 수 있습니다.

■ f = Kcos Y - sin V):

■ 프랑스= "Y sin y + cos Vi (1-8)

각속도 cov, co, coz는 CM에 대한 항공기의 운동 방정식에서 결정됩니다. 질량 중심에 대한 항공기의 운동 방정식은 각운동량의 변화 법칙에서 얻을 수 있습니다.

- ^ - = MR-ZxK.(1.9)

그 안에 벡터 방정식다음 지정이 허용됩니다. -> ■ ->

K는 항공기의 운동량 모멘트입니다. MR은 항공기에 작용하는 외력의 주요 모멘트입니다.

이동 축에 대한 각운동량 벡터 K의 투영은 일반적으로 다음 형식으로 작성됩니다.

K t = I x ^ X? xy®y I XZ ^ ZI

K, Ixy ^ x H [IY ^ Y Iyz ^ zi (1.10)

K7. - IXZ ^ X Iyz ^ y Iz®Z *

방정식 (1.10)은 대칭 평면을 가진 항공기의 역학을 분석하는 가장 일반적인 경우에 대해 단순화될 수 있습니다. 이 경우 1хг = Iyz - 0. 방정식 (1.9)에서 관계식 (1.10)을 사용하여 CM에 대한 항공기 운동 방정식 시스템을 얻습니다.

주 관성 축을 OXYZ 축으로 하면 1xy = 0입니다. 이와 관련하여 항공기의 주 관성 축을 OXYZ 축으로 사용하여 항공기 역학에 대한 추가 분석을 수행합니다.

방정식(1.11)의 우변에 포함된 모멘트는 공기역학적 모멘트와 엔진 추력 모멘트의 합입니다. 공기역학적 모멘트는 다음과 같이 기록됩니다.

여기서 тХ1 т, mz는 공기역학적 모멘트의 무차원 계수입니다.

일반적인 경우 공기역학적 힘과 모멘트의 계수는 비행 모드에 따라 동작의 운동학적 매개변수와 유사성 매개변수에 대한 기능적 종속성의 형태로 표현됩니다.

y, r mXt = F (a, p, a, P, coXJ coyj co2, be, f, bn, M, Re). (1.12)

숫자 M과 Re는 초기 비행 모드를 나타내므로 안정성이나 제어된 움직임을 분석할 때 이러한 매개변수를 상수 값으로 사용할 수 있습니다. 일반적인 운동의 경우, 힘과 모멘트의 각 방정식의 오른쪽에는 다소 복잡한 기능이 포함되며, 이는 일반적으로 실험 데이터의 근사치를 기반으로 결정됩니다.

무화과. 1.3은 항공기 움직임의 주요 매개 변수와 기관 및 제어 레버의 편차 값에 대한 기호 규칙을 보여줍니다.

작은 받음각과 미끄러짐의 경우, 공기역학적 계수는 일반적으로 이 확장의 첫 번째 항만 유지하면서 동작 매개변수 측면에서 Taylor 급수의 확장 형태로 표현됩니다. 작은 받음각에 대한 이러한 공기역학적 힘과 모멘트의 수학적 모델은 풍동에서의 비행 연습 및 실험과 잘 일치합니다. 다양한 목적을 위한 항공기의 공기역학에 대한 작업 자료를 기반으로, 우리는 제어의 움직임 매개변수 및 편향 각도의 함수로서 공기역학적 힘 및 모멘트의 계수를 나타내는 다음 형식을 취할 것입니다.

cx ^ cxo 4 ~ cx(° 0 "

Y ^ SU0 4 "c ^ ya 4" C! / F;

cr = cfp + CrH6';

텍사스 - itixi | 5 - f - ■ b mxha> x - (- mx -f - / l * (I - | - - J - L2LP6 ,!

o (0.- (0 ^ - p b b „

tu = myfi + tu ho) x + tu Yyy + p + ga / be + tu bn;

tg = tg (a) + tg zwz / 나? 에프.

비행 역학의 특정 문제를 해결할 때 공기 역학적 힘과 모멘트의 일반적인 표현 형식을 단순화할 수 있습니다. 작은 받음각의 경우 많은 공기역학적 측면 운동 계수가 일정하며 종방향 모멘트는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

mz (a) = mzo + m £ a,

여기서 mz0은 a = 0에서 종방향 모멘트 계수입니다.

공기의 각도에 비례하는 식 (1.13)에 포함된 구성 요소는 일반적으로 풍동 모델의 정적 테스트 또는 계산에서 발견됩니다. 찾기 위해

NLN 파생상품, twx(y)

모델의 동적 테스트. 그러나 이러한 테스트에서는 일반적으로 측정 및 처리 중에 값이 동시에 결정되는 각속도와 받음각 및 슬립 각도가 동시에 변경됩니다.

CO-CO-,

mz * = m2r - mz;

0), R. Yuu I c.

mx * = tx + tx sin a; tu * = 슈투 신 가.

CO .. (O .. 피트 CO-. CO .. 피트

tu% = t, / - | - tiiy cos a; tx% = tx + tx cos a.

항공기 역학 분석을 위해,

특히 낮은 받음각에서 다음을 나타내는 것이 허용됩니다.

파생 상품 mS 및 m $인 관계식(1.13)의 형태로

0과 동일하고 식 m®x 등으로 취합니다.

우리는 수량 m "j, m ™ y를 의미합니다 [참조. (1.14)] 실험적으로 결정되었습니다. 작은 받음각과 일정한 비행 속도로 활공하는 비행 분석 문제로 고려를 제한함으로써 이것이 허용된다는 것을 보여줍시다. 방정식 (1.3)에 속도 Vх, Vy, Vz (1.5)에 대한 식을 대입하고 필요한 변환을 수행하면 다음을 얻습니다.

=% COS a + coA. 시나 - f - ^ r)