Формулы и свойства правильной треугольной пирамиды. Усеченная треугольная пирамида

Определение 1 . Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания.

Определение 2 . Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Элементы правильной пирамиды

• Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема . На рисунке обозначена как отрезок ON
• Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
• Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)
• Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
• Диагональное сечение пирамиды - это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
• Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной , четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр .

Свойства правильной пирамиды

Для решения задач необходимо знать свойства отдельных элементов, которые в условии обычно опускаются, так как считается, что ученик должен это знать изначально.

• боковые ребра равны между собой
• апофемы равны
• боковые грани равны между собой (при этом, соответственно, равны их площади, боковые стороны и основания), то есть они являются равными треугольниками
• все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
• в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу
• если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно π/n, где n - количество сторон многоугольника основания
• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
• около основания правильной пирамиды можно описать окружность (см. также радиус описанной окружности треугольника)
• все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы
• все высоты боковых граней равны между собой

Указания к решению задач . Свойства, перечисленные выше, должны помочь в практическом решении. Если требуется найти углы наклона граней, их поверхность и т. д., то общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для нахождения отдельных элементов пирамиды, поскольку многие элементы являются общими для нескольких фигур.

Необходимо разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы - треугольники, квадраты, отрезки. Далее, к отдельным элементам применить знания из курса планиметрии, что существенно упрощает нахождение ответа.

Формулы для правильной пирамиды

Формулы для нахождения объема и площади боковой поверхности:

Обозначения :
V - объем пирамиды
S - площадь основания
h - высота пирамиды
Sb - площадь боковой поверхности
a - апофема (не путать с α)
P - периметр основания
n - число сторон основания
b - длина бокового ребра
α - плоский угол при вершине пирамиды

Данная формула нахождения объема может применяться только для правильной пирамиды:

, где

V - объем правильной пирамиды
h - высота правильной пирамиды
n - число сторон правильного многоугольника, который является основанием для правильной пирамиды
a - длина стороны правильного многоугольника

Правильная усеченная пирамида

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой . Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований.

Высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией), называется - апофема правильной усеченной пирамиды .

Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.

• Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды
• Все грани правильной усеченной пирамиды являются равнобокими (равнобедренными) трапециями

Примечания

См. также: частные случаи (формулы) для правильной пирамиды:

Как воспользоваться приведенными здесь теоретическими материалами для решения своей задачи:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ШКОЛА №2» ГОРОДА АЛУШТЫ

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Решение задач.

Пирамида. Усеченная пирамида

Учитель математики

Пихидчук Ирина Анатольевна

2016 г.

УРОК

Геометрия. 11 класс.

Урок рассчитан на 3 часа. Рекомендуется проводить при обобщающем повторении.

ТЕМА: Пирамида. Усеченная пирамида. Решение задач.

ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА: Подготовка к контрольной работе (выявить проблемы; систематизировать и откорректировать знания по теме).

ЦЕЛИ: 1) Проверить знание определений: угол между прямой и плоскостью; линейный угол двугранного угла (построение); правильная пирамида.

Повторить формулы: объем пирамиды; радиусы вписанной и описанной около многоугольника окружности;

проверить навыки построения рисунка; умение обосновывать углы между боковым ребром и плоскостью основания, между боковой гранью и плоскостью основания.

закрепить вычислительные навыки.

ХОД УРОКА:

Организационный момент. Сообщение целей и задач урока.

Повторение.

Рисунки на откидной доске:

Задание к рисункам: сформулировать определение угла между прямой и плоскостью. Показать на рисунках угол и обосновать.

Основная доска

Показать угол между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды. Вычислить объем пирамиды если сторона основания равна а, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен а.

Найти объем каждой из заданных правильных пирамид

ВЫВОД: 1) Угол между боковым ребром и плоскостью основания - это угол между боковым ребром и радиусом описанной около основания окружности;

2) Угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды - это угол между апофемой и радиусом вписанной в основание окружности.

Домашнее задание на карточках (задание прилагаются).

Геометрия 11 класс, (продолжение)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ: Пирамида. Усеченная пирамида.

Задача № 1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Две грани, содержащие катеты, перпендикулярны к плоскости основания. Покажите углы между боковыми ребрами и плоскостью основания. Будут ли они равны если треугольник равнобедренный.

Задача № 2. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним углом. Постройте высоту пирамиды и углы между боковыми ребрами и плоскостью основания (построение обосновать)

Задача № 4. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Каждое боковое ребро образует с основанием один и тот же угол. Выполнить рисунок и обосновать построение. Найти объем если высота пирамиды равна 7 см. а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60 0 .

ВЫВОД: Высота пирамиды проектируется в центр описанной окружности если: боковые ребра равны; боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним углом; пирамида правильная.

Домашнее задание. В правильной пирамиде (треугольная, четырехугольная, шестиугольная) построить угол между боковой гранью и плоскостью основания. Построение обосновать.

Многогранник, у которого одна из граней – многоугольник, а все остальные грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Эти треугольники, из которых составлена пирамида, называют боковыми гранями , а оставшийся многоугольник – основанием пирамиды.

В основании пирамиды лежит геометрическая фигура – n-угольник. В таком случае пирамиду называют еще n-угольной .

Треугольную пирамиду, все ребра которой равны, называют тетраэдром.

Ребра пирамиды, которые не принадлежат основанию, называются боковыми , а их общая точка – это вершина пирамиды. Другие ребра пирамиды обычно называют сторонами основания .

Пирамиду называют правильной , если у нее в основании лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.

Расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания называется высотой пирамиды. Можно сказать, что высота пирамиды есть отрезок, перпендикулярный основанию, концы которого находятся в вершине пирамиды и на плоскости основания.

Для любой пирамиды имеют место следующие формулы:

1) S полн = S бок + S осн , где

S полн – площадь полной поверхности пирамиды;

S бок – площадь боковой поверхности, т.е. сумма площадей всех боковых граней пирамиды;

S осн – площадь основания пирамиды.

2) V = 1/3 S осн · Н , где

V – объем пирамиды;

Н – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды имеет место:

S бок = 1/2 P осн h , где

P осн – периметр основания пирамиды;

h – длина апофемы, то есть длина высоты боковой грани, опущенной из вершины пирамиды.

Часть пирамиды, заключенная между двумя плоскостями – плоскостью основания и секущей плоскостью, проведенной параллельно основанию, называют усеченной пирамидой .

Основание пирамиды и сечение пирамиды параллельной плоскостью называются основаниями усеченной пирамиды. Остальные грани называют боковыми . Расстояние между плоскостями оснований называют высотой усеченной пирамиды. Ребра, которые не принадлежат основаниям, называются боковыми .

Кроме того, основания усеченной пирамиды подобные n-угольники . Если основания усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а все боковые ребра равны между собой, то такая усеченная пирамида называется правильной .

Для произвольной усеченной пирамиды имеют место следующие формулы:

1) S полн = S бок + S 1 + S 2 , где

S полн – площадь полной поверхности;

S бок – площадь боковой поверхности, т.е. сумма площадей всех боковых граней усеченной пирамиды, которые представляют собой трапеции;

S 1 , S 2 – площади оснований;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H , где

V – объем усеченной пирамиды;

H – высота усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды также имеем:

S бок = 1/2(P 1 + P 2) · h, где

P 1 , P 2 – периметры оснований;

h – апофема (высота боковой грани, представляющей собой трапецию).

Рассмотрим несколько задач на усеченную пирамиду.

Задача 1.

В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной 10, стороны одного из оснований равны 27, 29 и 52. Определите объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72.

Решение.

Рассмотрим усеченную пирамиду АВСА 1 В 1 С 1 , изображенную на рисунке1.

1. Объем усеченной пирамиды может быть найден по формуле

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), где S 1 – площадь одного из оснований, можно найти по формуле Герона

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

т.к. в задаче даны длины трех сторон треугольника.

Имеем: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 · 27 · 25 · 2) = 270.

2. Пирамида усеченная, а значит, в основаниях лежат подобные многоугольники. В нашем случае треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С 1 . Кроме того, коэффициент подобия можно найти как отношение периметров рассматриваемых треугольников, а отношение их площадей будет равно квадрату коэффициента подобия. Таким образом, имеем:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Отсюда S 2 = 4S 1 /9 = 4 · 270/9 = 120.

Итак, V = 1/3 · 10(270 + 120 + √(270 · 120)) = 1900.

Ответ: 1900.

Задача 2.

В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному боковому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся как 1: 2?

Решение.

Рассмотрим АВСА 1 В 1 С 1 – усеченную пирамиду, изображенную на рис. 2.

Так как в основаниях стороны относятся как 1: 2, то площади оснований относятся как 1: 4 (треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С 1).

Тогда объем усеченной пирамиды равен:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2 , где S 2 – площадь верхнего основания, h – высота.

Но объем призмы АDEA 1 B 1 C 1 составляет V 1 = S 2 · h и, значит,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2 .

Итак, V 2: V 1 = 3: 4.

Ответ: 3: 4.

Задача 3.

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 и 1, а высота равна 3. Через точку пересечения диагоналей пирамиды параллельно основаниям пирамиды проведена плоскость, делящая пирамиду на две части. Найти объем каждой из них.

Решение.

Рассмотрим усеченную пирамиду АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 , изображенную на рис. 3.

Обозначим О 1 О 2 = х, тогда ОО₂ = О 1 О – О 1 О 2 = 3 – х.

Рассмотрим треугольник В 1 О 2 D 1 и треугольник ВО 2 D:

угол В 1 О 2 D 1 равен углу ВО 2 D как вертикальные;

угол ВDO 2 равен углу D 1 B 1 O 2 и угол O 2 ВD равен углу B 1 D 1 O 2 как накрест лежащие при B 1 D 1 || BD и секущих B₁D и BD₁ соответственно.

Следовательно, треугольник В 1 О 2 D 1 подобен треугольнику ВО 2 D и имеет место отношение сторон:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 или 1/2 = х/(х – 3), откуда х = 1.

Рассмотрим треугольник В 1 D 1 В и треугольник LО 2 B: угол В – общий, а так же имеется пара односторонних углов при B 1 D 1 || LM, значит, треугольник В 1 D 1 В подобен треугольнику LО 2 B, откуда В 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, т.е.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Тогда S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Итак, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Ответ: 152/27; 37/27.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Задача

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды .

Решение .

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см.

Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна
AN 2 = AO 2 + ON 2
AN 2 = 5 2 + 12 2
AN = √169
AN = 13

Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна
CB 2 = CO 2 + OB 2
64 = CO 2 + 25
CO 2 = 39
CO = √39

Соответственно, величина ребра CN будет равна
CN 2 = CO 2 + NO 2
CN 2 = 39 + 144
CN = √183

Ответ : 13, 13 , √183

Задача

Основание пирамиды прямоугольный треугольник, катеты которого равны 8 и 6 см. высота пирамиды равна 10 см. Вычислить объем пирамиды .

Решение .
Объем пирамиды найдем по формуле:
V = 1/3 Sh

Площадь основания найдем по формуле нахождения площади прямоугольного треугольника:
S = ab/2 = 8 * 6 / 2 = 24
откуда
V = 1/3 * 24 *10 = 80 см 3 .

На данном уроке мы рассмотрим усеченную пирамиду, познакомимся с правильной усеченной пирамидой, изучим их свойства.

Вспомним понятие n-угольной пирамиды на примере треугольной пирамиды. Задан треугольник АВС. Вне плоскости треугольника взята точка Р, соединенная с вершинами треугольника. Полученная многогранная поверхность и называется пирамидой (рис. 1).

Рис. 1. Треугольная пирамида

Рассечем пирамиду плоскостью , параллельной плоскости основания пирамиды . Полученная между этими плоскостями фигура и называется усеченной пирамидой (рис. 2).

Рис. 2. Усеченная пирамида

Основные элементы:

Верхнее основание ;

Нижнее основание АВС;

Боковая грань ;

Если РН - высота исходной пирамиды, то - высота усеченной пирамиды.

Свойства усеченной пирамиды вытекают из способа ее построения, а именно из параллельности плоскостей оснований:

Все боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями. Рассмотрим, например, грань . У нее по свойству параллельных плоскостей (поскольку плоскости параллельны, то боковую грань исходной пирамиды АВР они рассекают по параллельным прямым), в то же время и не параллельны. Очевидно, что четырехугольник является трапецией, как и все боковые грани усеченной пирамиды.

Отношение оснований одинаково для всех трапеций:

Имеем несколько пар подобных треугольников с одинаковым коэффициентом подобия. Например, треугольники и РАВ подобны в силу параллельности плоскостей и , коэффициент подобия:

В то же время подобны треугольники и РВС с коэффициентом подобия:

Очевидно, что коэффициенты подобия для всех трех пар подобных треугольников равны, поэтому отношение оснований одинаково для всех трапеций.

Правильной усеченной пирамидой называется усеченная пирамида, полученная сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию (рис. 3).

Рис. 3. Правильная усеченная пирамида

Определение.

Правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник, а вершина проектируется в центр этого n-угольника (центр вписанной и описанной окружности).

В данном случае в основании пирамиды лежит квадрат, и вершина проектируется в точку пересечения его диагоналей. У полученной правильной четырехугольной усеченной пирамиды ABCD - нижнее основание, - верхнее основание. Высота исходной пирамиды - РО, усеченной пирамиды - (рис. 4).

Рис. 4. Правильная четырехугольная усеченная пирамида

Определение.

Высота усеченной пирамиды - это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости второго основания.

Апофема исходной пирамиды - РМ (М - середина АВ), апофема усеченной пирамиды - (рис. 4).

Определение.

Апофема усеченной пирамиды - высота любой боковой грани.

Ясно, что все боковые ребра усеченной пирамиды равны между собой, то есть боковые грани - равные равнобедренные трапеции.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Доказательство (для правильной четырехугольной усеченной пирамиды - рис. 4):

Итак, необходимо доказать:

Площадь боковой поверхности здесь будет состоять из суммы площадей боковых граней - трапеций. Поскольку трапеции одинаковы, имеем:

Площадь равнобедренной трапеции - это произведение полусуммы оснований и высоты, апофема является высотой трапеции. Имеем:

Что и требовалось доказать.

Для n-угольной пирамиды:

Где n - количество боковых граней пирамиды, a и b - основания трапеции, - апофема.

Стороны основания правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 3 см и 9 см, высота - 4 см. Найти площадь боковой поверхности.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1

Решение. Проиллюстрируем условие:

Задано: , ,

Через точку О проведем прямую MN параллельно двум сторонам нижнего основания, аналогично через точку проведем прямую (рис. 6). Поскольку в основаниях усеченной пирамиды квадраты и построения параллельны, получим трапецию, равную боковым граням. Причем ее боковая сторона будет проходить через середины верхнего и нижнего ребра боковых граней и являться апофемой усеченной пирамиды.

Рис. 6. Дополнительные построения

Рассмотрим полученную трапецию (рис. 6). В этой трапеции известно верхнее основание, нижнее основание и высота. Требуется найти боковую сторону, которая является апофемой заданной усеченной пирамиды. Проведем перпендикулярно MN. Из точки опустим перпендикуляр NQ. Получим, что большее основание разбивается на отрезки по три сантиметра (). Рассмотрим прямоугольный треугольник , катеты в нем известны, это египетский треугольник, по теореме Пифагора определяем длину гипотенузы: 5 см.

Теперь есть все элементы для определения площади боковой поверхности пирамиды:

Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите на примере треугольной пирамиды, что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Доказательство. Проиллюстрируем:

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 2

Задана пирамида РАВС. РО - высота пирамиды. Пирамида рассечена плоскостью , получена усеченная пирамида , причем . Точка - точка пересечения высоты РО с плоскостью основания усеченной пирамиды . Необходимо доказать:

Ключом к решению является свойство параллельных плоскостей. Две параллельные плоскости рассекают любую третью плоскость так, что линии пересечения параллельны. Отсюда: . Из параллельности соответствующих прямых вытекает наличие четырех пар подобных треугольников:

Из подобия треугольников вытекает пропорциональность соответствующих сторон. Важная особенность заключается в том, что коэффициенты подобия у этих треугольников одинаковы:

Что и требовалось доказать.

Правильная треугольная пирамида РАВС с высотой и стороной основания рассечена плоскостью , проходящей через середину высоты РН параллельно основанию АВС. Найти площадь боковой поверхности полученной усеченной пирамиды.

Решение. Проиллюстрируем:

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3

АСВ - правильный треугольник, Н - центр данного треугольника (центр вписанной и описанной окружностей). РМ - апофема заданной пирамиды. - апофема усеченной пирамиды. Согласно свойству параллельных плоскостей (две параллельные плоскости рассекают любую третью плоскость так, что линии пересечения параллельны), имеем несколько пар подобных треугольников с равным коэффициентом подобия. В частности нас интересует отношение:

Найдем НМ. Это радиус окружности, вписанной в основание, соответствующая формула нам известна:

Теперь из прямоугольного треугольника РНМ по теореме Пифагора найдем РМ - апофему исходной пирамиды:

Из начального соотношения:

Теперь нам известны все элементы для нахождения площади боковой поверхности усеченной пирамиды:

Итак, мы ознакомились с понятиями усеченной пирамиды и правильной усеченной пирамиды, дали основные определения, рассмотрели свойства, доказали теорему о площади боковой поверхности. Следующий урок будет посвящен решению задач.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2008. - 233 с.: ил.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Домашнее задание